Олимпиада имени Леонарда Эйлера2011-2012 учебный год, II тур регионального этапа

Существуют ли 10 различных рациональных чисел таких, что произведение любых двух из них — целое число, а произведение любых трех — нет? Напомним, что рациональным называется число, равное отношению двух целых чисел. ( О. Подлипский )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Нет.
Решение. Предположим, что нашлись такие 10 чисел. Рассмотрим любые три из них: $a$, $b$, $c$. Тогда числа $ab$, $bc$, $ca$ — целые, а число $abc = p/q$ — нет. Тогда и число $(abc)^2 = p^2/q^2$ нецелое. Но $(abc)^2 = (ab)(bc)(ca)$ — целое. Противоречие.
Замечание. Фактически доказано, что если все попарные произведения — целые, то и все произведения по три — целые.