Олимпиада имени Леонарда Эйлера2011-2012 учебный год, II тур регионального этапа

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ углы $ABC$ и $ADC$ прямые. На сторонах $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ взяты точки $K$, $L$, $M$, $N$ соответственно так, что $KLMN$ — прямоугольник. Докажите, что середина диагонали $AC$ равноудалена от прямых $KL$ и $MN$. ( Д. Швецов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Рассмотрим треугольник $KNT$, у которого $KT \parallel BC$ и $NT \parallel CD$. Он равен треугольнику $LMC$ по стороне $KN = LM$ и двум прилежащим углам. Следовательно, $KT = LC$, и $KTCL$ — параллелограмм, откуда $TC \parallel KL$ и $TC \perp KN$.
Пусть $S$ и $O$ — середины отрезков $AT$ и $AC$ соответственно, а $n$ — серединный перпендикуляр отрезка $KN$. Так как $\angle ANT = \angle ADC = 90 ^\circ$ и $\angle AKT = \angle ABDC = 90 ^\circ $, $NS = KS = AT/2$, то есть точка $S$ равноудалена от $K$ и $N$. Допустим, прямая $AC$ совпадает с прямой $TC$. Тогда $AC$ перпендикулярна $KN$ и проходит через точку $S$. Значит, $AC = n$. Допустим, прямые $AC$ и $TC$ различны. Тогда $SO$ — средняя линия треугольника $ATC$, и потому перпендикулярна $KN$. Значит, $SO = n$. В обоих случаях точка $O$ оказывается на серединном перпендикуляре $n$, все точки которого равноудалены от прямых $KL$ и $MN$.