Processing math: 100%

Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2011-2012 учебный год, II тур регионального этапа


В выпуклом четырехугольнике ABCD углы ABC и ADC прямые. На сторонах AB, BC, CD, DA взяты точки K, L, M, N соответственно так, что KLMN — прямоугольник. Докажите, что середина диагонали AC равноудалена от прямых KL и MN. ( Д. Швецов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Рассмотрим треугольник KNT, у которого KTBC и NTCD. Он равен треугольнику LMC по стороне KN=LM и двум прилежащим углам. Следовательно, KT=LC, и KTCL — параллелограмм, откуда TCKL и TCKN.
Пусть S и O — середины отрезков AT и AC соответственно, а n — серединный перпендикуляр отрезка KN. Так как ANT=ADC=90 и AKT=ABDC=90, NS=KS=AT/2, то есть точка S равноудалена от K и N. Допустим, прямая AC совпадает с прямой TC. Тогда AC перпендикулярна KN и проходит через точку S. Значит, AC=n. Допустим, прямые AC и TC различны. Тогда SO — средняя линия треугольника ATC, и потому перпендикулярна KN. Значит, SO=n. В обоих случаях точка O оказывается на серединном перпендикуляре n, все точки которого равноудалены от прямых KL и MN.