Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2011-2012 учебный год, II тур регионального этапа
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Решение. Рассмотрим треугольник KNT, у которого KT∥BC и NT∥CD. Он равен треугольнику LMC по стороне KN=LM и двум прилежащим углам. Следовательно, KT=LC, и KTCL — параллелограмм, откуда TC∥KL и TC⊥KN.
Пусть S и O — середины отрезков AT и AC соответственно, а n — серединный перпендикуляр отрезка KN. Так как ∠ANT=∠ADC=90∘ и ∠AKT=∠ABDC=90∘, NS=KS=AT/2, то есть точка S равноудалена от K и N. Допустим, прямая AC совпадает с прямой TC. Тогда AC перпендикулярна KN и проходит через точку S. Значит, AC=n. Допустим, прямые AC и TC различны. Тогда SO — средняя линия треугольника ATC, и потому перпендикулярна KN. Значит, SO=n. В обоих случаях точка O оказывается на серединном перпендикуляре n, все точки которого равноудалены от прямых KL и MN.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.