Олимпиада имени Леонарда Эйлера2011-2012 учебный год, II тур регионального этапа

По кругу выложены черные и белые шары, причем черных в два раза больше, чем белых. Известно, что среди пар соседних шаров одноцветных пар втрое больше, чем разноцветных. Какое наименьшее число шаров могло быть выложено? ( Б. Трушин )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 24.
Решение. Так как чёрных шаров в два раза больше, чем белых, то общее количество шаров делится на три. Обозначим его через $n$. Все шары разбиваются на чередующиеся группы подряд идущих одноцветных шаров (группа может состоять и из одного шара). Так как цвета групп чередуются, то общее количество групп четно. Пусть количество групп каждого цвета равно $k$. Тогда разноцветных пар соседних шаров будет $2k$, а одноцветных $n - 2k$. Из условия задачи получаем, что $n - 2k = 3 \cdot 2k$. Отсюда $n = 8k$. Таким образом общее количество шаров делится и на три и на восемь. Значит, $n$ делится на 24, и потому $n \geq 24$. Примером может служить любой круг из 8 белых и 16 чёрных шаров, в котором по три чёрных и белых групп. Например, чёрный--белый—чёрный--белый--шесть чёрных — четырнадцать белых.