Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2011-2012 учебный год, II тур регионального этапа


По кругу выложены черные и белые шары, причем черных в два раза больше, чем белых. Известно, что среди пар соседних шаров одноцветных пар втрое больше, чем разноцветных. Какое наименьшее число шаров могло быть выложено? ( Б. Трушин )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 24.
Решение. Так как чёрных шаров в два раза больше, чем белых, то общее количество шаров делится на три. Обозначим его через n. Все шары разбиваются на чередующиеся группы подряд идущих одноцветных шаров (группа может состоять и из одного шара). Так как цвета групп чередуются, то общее количество групп четно. Пусть количество групп каждого цвета равно k. Тогда разноцветных пар соседних шаров будет 2k, а одноцветных n2k. Из условия задачи получаем, что n2k=32k. Отсюда n=8k. Таким образом общее количество шаров делится и на три и на восемь. Значит, n делится на 24, и потому n24. Примером может служить любой круг из 8 белых и 16 чёрных шаров, в котором по три чёрных и белых групп. Например, чёрный--белый—чёрный--белый--шесть чёрных — четырнадцать белых.