Олимпиада имени Леонарда Эйлера2013-2014 учебный год, II тур регионального этапа

Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$, причём прямая $BE$ параллельна прямой $CD$ и отрезок $BE$ короче отрезка $CD$. Внутри пятиугольника выбраны точки $F$ и $G$ таким образом, что $ABCF$ и $AGDE$ — параллелограммы. Докажите, что $CD = BE + FG$. ( С. Берлов, К. Кноп )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Отметим на отрезке $CD$ такую точку $H$, что $CH = BE$. Тогда $BEHC$ — параллелограмм. Значит, отрезок $EH$ параллелен и равен отрезку $BC$, а, тем самым, и отрезку $AF$. Следовательно, $AFHE$ — параллелограмм. Теперь получаем, что отрезок $FH$ параллелен и равен отрезку $AE$, а, тем самым, и отрезку $GD$. А это значит, что и $FGDH$ — параллелограмм. Следовательно, $DH = FG$, откуда $CD = CH + DH = BE + FG$.