Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Эйлер атындағы олимпиада, 2019-2020 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры


Бір жолда 1999 натурал сандар жазылған. Осы жолдағы әр екі көрші санның астына олардың ең үлкен ортақ бөлгішін жазып шығып, екінші жолды алған. Дәл сол сияқты, үшінші, төртінші, жолдардын алған. 1000-шы жолдағы сандар қандай да бір ретпен орналасқан 1000 қатар келген сандардан тұра алады ма ( С. Берлов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Не может.
Решение. Назовем число a из таблицы предком числа b, если от a до b можно добраться сверху вниз по цепочке описанных в условии наибольших общих делителей (НОД). Двигаясь по строкам снизу вверх, нетрудно убедиться, что у каждого числа a из 1000-ой строки 1000 предок из первой строки, все эти предки идут в строке подряд, и a равно их НОД. Пусть числа a и b из 1000-ой строки делятся на простое число p. Тогда делятся на p и все предки каждого из них. Если число c записано в 1000-ой строке между a и b, то каждый его предок является также предком либо a, либо b. Поэтому c также делится на p. Но среди 1000 последовательных чисел найдутся числа, дающие при делении на 30 остатки 6, 10 и 15, которые, в силу доказанного, не могут стоять ни в каком порядке, так как любые два из них делятся на простое число, на которое не делится третье.