Олимпиада имени Леонарда Эйлера2014-2015 учебный год, II тур регионального этапа

На столе лежит палочка длиной 10 см. Петя ломает её на две части и кладёт обе получившиеся палочки на стол. С одной из лежащих на столе палочек Вася проделывает ту же операцию, потом то же делает Петя и т.д., по очереди. Петя хочет, чтобы после 18 разломов все получившиеся палочки были короче 1 см. Вася хочет помешать Пете. Кто из них имеет возможность добиться своей цели независимо от действий соперника? ( И. Рубанов, С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Вася.
Решение. Отметим 9 точек, делящих палочку на части длиной 1 см. Васе достаточно играть так, чтобы на все эти точки пришлись разломы. Так как у него 9 ходов, он сможет это сделать. В итоге после 18 разломов получится 10 палочек длиной 1 см, некоторые из которых разломаны на более мелкие части. Так как разломов, не приходящихся на отмеченные точки, всего 9, хотя бы одна из сантиметровых палочек останется целой, и Петя не добьётся своей цели.