Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2020-2021 учебный год, II тур заключительного этапа

При каких натуральных $n$ можно так отметить несколько клеток доски $n\times n$, чтобы во всех строках и столбцах было чётное число отмеченных клеток, а на всех $4n-6$ диагоналях, длина которых больше одной клетки, — нечётное? ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. При всех нечётных $n$.
Решение. При нечётном $n$ отметим все клетки верхней и нижней горизонталей, кроме левых угловых. При чётном $n$ будем рассуждать от противного. Раскрасим все клетки в шахматном порядке так, чтобы левый нижний угол был чёрным. Заметим, что среди белых клеток должно быть нечётное число отмеченных, поскольку все они находятся в объединении $n-1$ диагоналей, больших 1 по длине. Но если просуммировать отмеченные клетки во всех вертикалях, начиная со второй слева через одну, а потом добавить к ним сумму всех отмеченных клеток в горизонталях, начиная со второй снизу через одну, то каждую отмеченную белую клетку посчитаем ровно один раз, а каждую отмеченную чёрную — ноль или два раза, т. е. насчитаем нечётное число отмеченных клеток. Но это сумма нескольких чётных чисел. Противоречие.