Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2010-2011 учебный год, II тур регионального этапа

Задача №1.  Бизнесмен Борис Михайлович решил устроить с трактористом Васей гонки по шоссе. Поскольку его «Лексус» едет вдесятеро быстрее Васиного трактора, он дал Васе фору и выехал через час после Васи. После того, как Васин трактор проехал ровно половину запланированной трассы, у него отвалилась рессора, поэтому оставшуюся часть пути Вася проехал вдвое медленнее, чем первую. В результате встречи с Васиной рессорой Борису Михайловичу пришлось заехать в оказавшийся рядом сервис на 4 часа, после чего он продолжил путь вдвое медленнее, чем раньше. Докажите, что в результате он отстал от Васи не менее, чем на час. ( С. Берлов )
комментарий/решение(2)

---

Задача №2.  На доске написано число 1. Если на доске написано число $a$, его можно заменить любым числом вида $a+d$, где $d$ взаимно просто с $a$ и $10 \leq d \leq 20$. Можно ли через несколько таких операций получить на доске число $18! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 18$? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(4)

---

Задача №3.  Для четырёх различных целых чисел подсчитали все их попарные суммы и попарные произведения. Полученные суммы и произведения выписали на доску. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться на доске? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $AB$ соответственно. На медиане $BM$ выбрана точка $P$, не лежащая на $CN$. Оказалось, что $PC = 2PN$. Докажите, что $AP = BC$. ( С. Берлов )
комментарий/решение(3)

---