Олимпиада имени Леонарда Эйлера2010-2011 учебный год, II тур регионального этапа

Для четырёх различных целых чисел подсчитали все их попарные суммы и попарные произведения. Полученные суммы и произведения выписали на доску. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться на доске? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 6.
Решение. Если взять числа $-1$, $0$, $1$, $2$, то, как легко проверить, каждое из записанных на доске чисел будет равно $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$ или $3$ — всего 6 различных значений. Покажем, что меньше шести различных чисел на доске оказаться не могло. Пусть взяты числа $a < b < c < d$. Тогда выполнены неравенства $a+b < a+c < a+d < b+d < c+d$, что даёт пять различных чисел.
Осталось доказать, что на доске есть число, отличное от этих пяти. Мы покажем, что на доске найдётся либо число, большее $c+d$, либо число, меньшее $a+b$. Если $a \geq 0$, то $b \geq 1$, $c \geq 2$, $d \geq 3$, поэтому $cd \geq 2d > c+d$. Если $a < 0$, а $d \geq 2$, то $ad \leq 2a < a+b$. В оставшемся случае имеем $a < 0$ и $d \leq 1$. Но тогда $c \leq 0$, $b \leq -1$, $a \leq -2$, откуда $ab \geq 2 > c+d$. Вариант завершения решения. Пусть $u$ и $v$ — два наибольших по модулю числа, причем $|u| \leq |v|$. Если $|u| \geq 2$, то $|uv| \geq 2|v|$, а это больше, чем любая сумма. Если же $|u| \leq 1$, то среди исходных чисел должны быть $-1, 0, 1$. При $v > 0$ на доске выписано по крайней мере 6 различных чисел: $ -1, 0, 1, v, -v, v + 1$. Случай $v < 0$ разбирается аналогично.