Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Эйлер атындағы олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры


Төрт әртүрлі бүтін сан үшін олардың өзара қосындысы мен өзара көбейтінділерін тапты. Алынған қосындылар мен көбейтінділерді тақтаға жазды. Тақтада кемінде қанша әртүрлі сан болу мүмкін? ( И. Рубанов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 6.
Решение. Если взять числа 1, 0, 1, 2, то, как легко проверить, каждое из записанных на доске чисел будет равно 2, 1, 0, 1, 2 или 3 — всего 6 различных значений. Покажем, что меньше шести различных чисел на доске оказаться не могло. Пусть взяты числа a<b<c<d. Тогда выполнены неравенства a+b<a+c<a+d<b+d<c+d, что даёт пять различных чисел.
Осталось доказать, что на доске есть число, отличное от этих пяти. Мы покажем, что на доске найдётся либо число, большее c+d, либо число, меньшее a+b. Если a0, то b1, c2, d3, поэтому cd2d>c+d. Если a<0, а d2, то ad2a<a+b. В оставшемся случае имеем a<0 и d1. Но тогда c0, b1, a2, откуда ab2>c+d. Вариант завершения решения. Пусть u и v — два наибольших по модулю числа, причем |u||v|. Если |u|2, то |uv|2|v|, а это больше, чем любая сумма. Если же |u|1, то среди исходных чисел должны быть 1,0,1. При v>0 на доске выписано по крайней мере 6 различных чисел: 1,0,1,v,v,v+1. Случай v<0 разбирается аналогично.