Эйлер атындағы олимпиада, 2010-2011 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ. 6.
Решение. Если взять числа −1, 0, 1, 2, то, как легко проверить, каждое из записанных на доске чисел будет равно −2, −1, 0, 1, 2 или 3 — всего 6 различных значений. Покажем, что меньше шести различных чисел на доске оказаться не могло. Пусть взяты числа a<b<c<d. Тогда выполнены неравенства a+b<a+c<a+d<b+d<c+d, что даёт пять различных чисел.
Осталось доказать, что на доске есть число, отличное от этих пяти. Мы покажем, что на доске найдётся либо число, большее c+d, либо число, меньшее a+b. Если a≥0, то b≥1, c≥2, d≥3, поэтому cd≥2d>c+d. Если a<0, а d≥2, то ad≤2a<a+b. В оставшемся случае имеем a<0 и d≤1. Но тогда c≤0, b≤−1, a≤−2, откуда ab≥2>c+d. Вариант завершения решения. Пусть u и v — два наибольших по модулю числа, причем |u|≤|v|. Если |u|≥2, то |uv|≥2|v|, а это больше, чем любая сумма. Если же |u|≤1, то среди исходных чисел должны быть −1,0,1. При v>0 на доске выписано по крайней мере 6 различных чисел: −1,0,1,v,−v,v+1. Случай v<0 разбирается аналогично.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.