Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2008-2009 учебный год, I тур заключительного этапа

Задача №1.  У реки живет племя Мумбо-Юмбо. Однажды со срочным известием в соседнее племя одновременно отправились молодой воин Мумбо и мудрый шаман Юмбо. Мумбо побежал со скоростью 11 км/ч к ближайшему хранилищу плотов, и затем поплыл на плоту в соседнее племя. А Юмбо, не торопясь, со скоростью 6 км/ч, пошел к другому хранилищу плотов и поплыл в соседнее племя оттуда. В итоге Юмбо приплыл раньше, чем Мумбо. Река прямолинейна, плоты плывут со скоростью течения. Эта скорость всюду одинакова и выражается целым числом км/ч, не меньшим 6. Каково наибольшее возможное её значение? ( М. Евдокимов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2. При всяком ли натуральном $n$, большем 2009, из дробей $\frac{1}{n}$, $\frac{2}{n-1}$, $\frac{3}{n-2}$, $\ldots$, $\frac{n-1}{2}$, $\frac{n}{1}$ можно выбрать две пары дробей с одинаковыми суммами? ( А. Шаповалов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №3. В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны. Точка $D$ внутри треугольника такова, что угол $ADC$ вдвое больше угла $ABC$. Докажите, что удвоенное расстояние от точки $B$ до прямой, делящей пополам углы, смежные с углом $ADC$, равно $AD+DC$. ( С. Берлов )
комментарий/решение(3)

---

Задача №4. В стране Леонардии все дороги — с односторонним движением. Каждая дорога соединяет два города и не проходит через другие города. Департамент статистики вычислил для каждого города суммарное число жителей в городах, откуда в него ведут дороги, и суммарное число жителей в городах, куда ведут дороги из него. Докажите, что хотя бы для одного города первое число оказалось не меньше второго. ( Н. Гравин )
комментарий/решение(2)

---