Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2008-2009 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры

Есеп №1. Өзен бойында Мумбо-Юмбо тайпасы тұрады. Бір кезде жедел хабармен, бір уақытта көрші тайпаға жас жауын Мумбо мен дана шаман Юмбо жолға шықты. Мумбо 11 км/сағ жылдамдықпен сал қоймасына жүгіріп кетті. Сосын салда көрші тайпаға жүзіп кетті. Ал Юмбо асықпай, 6 км/сағ басқа сал қоймасына барып, сол жерден көрші тайпаға салмен жүзді. Соңында Юмбо Мумбоға қарағанда тез жүзіп келді. Өзен бойы түзу, ал салдар жылдамдығы өзен жылдамдығымен бірдей. Ол жылдамдық барлық жерде бірдей, және 6-дан кем емес бүтін км/сағ өлшенеді. Сонда оның ең үлкен мәні қандай болуы мүмкін? ( М. Евдокимов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Кез келген 2009-дан үлкен $n$ саны үшін $\frac{1}{n}$, $\frac{2}{n-1}$, $\frac{3}{n-2}$, $\ldots$, $\frac{n-1}{2}$, $\frac{n}{1}$ бөлшектерінен қосындысы тең болатын екі жұптарын әрқашанда да таңдап алуға бола ма? ( А. Шаповалов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. $ABC$ үшбұрышында $AB$ мен $BC$ қабырғалары тең. Үшбұрыштың ішінен $ADC$ бұрышы $ABC$ бұрышынан екі есе үлкен болатындай $D$ нүктесі алынған. $B$ нүктесінен $ADC$ бұрышына сыбайлас бұрыштың биссектриссасына дейінгі екі еселенген қашықтық $AD+DC$-ға тең екенін дәлелде. ( С. Берлов )
комментарий/решение(3)

---

Есеп №4. Леонардия елінде барлық жолдар бір бағытты ғана. Әр жол тек екі қаланы қосады және басқа үшінші қала арқылы өтпейді. Статистика департаменті әр қала үшін, сол қалаға басқа қаладан жол кіретін қалалардағы адамдардың жалпы санын және сол қаладан басқа қалаға жол шығатын қалалардағы адамдардың жалпы санын есептеді. Сонда, кемінде бір қала үшін бірінші қосынды екінші қосындыдан кем емес екенін дәлелдеңдер. ( Н. Гравин )
комментарий/решение(2)

---