Олимпиада имени Леонарда Эйлера2008-2009 учебный год, I тур заключительного этапа

При всяком ли натуральном $n$, большем 2009, из дробей $\frac{1}{n}$, $\frac{2}{n-1}$, $\frac{3}{n-2}$, $\ldots$, $\frac{n-1}{2}$, $\frac{n}{1}$ можно выбрать две пары дробей с одинаковыми суммами? ( А. Шаповалов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Да.
Решение. Каждая из данных дробей имеет вид $\frac{n+1-a}{a}=\frac{n+1}{a}-1$, где $1 \leq a \leq n$. Стало быть, нам требуется найти такие различные натуральные числа $a$, $b$, $c$ и $d$, не большие 2009, для которых $\left( \frac{n+1}{a}-1 \right)+\left( \frac{n+1}{b}-1 \right)=\left( \frac{n+1}{c}-1 \right)+\left( \frac{n+1}{d}-1 \right)$. Убрав минус единицы и поделив затем на n+1, получим равносильное равенство $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}+\frac{1}{d}$. Осталось подобрать удовлетворяющие ему дроби. Это можно сделать, взяв любое равенство двух сумм различных натуральных слагаемых, НОК которых не больше 2009, и поделив его на этот НОК. Например, равенство $1+4 = 2+3$, поделенное на 12, даёт \[\frac{1}{12}+\frac{1}{3}=\frac{1}{6}+\frac{1}{4}.\]