Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2008-2009 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры


Кез келген 2009-дан үлкен n саны үшін 1n, 2n1, 3n2, , n12, n1 бөлшектерінен қосындысы тең болатын екі жұптарын әрқашанда да таңдап алуға бола ма? ( А. Шаповалов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Да.
Решение. Каждая из данных дробей имеет вид n+1aa=n+1a1, где 1an. Стало быть, нам требуется найти такие различные натуральные числа a, b, c и d, не большие 2009, для которых (n+1a1)+(n+1b1)=(n+1c1)+(n+1d1). Убрав минус единицы и поделив затем на n+1, получим равносильное равенство 1a+1b=1c+1d. Осталось подобрать удовлетворяющие ему дроби. Это можно сделать, взяв любое равенство двух сумм различных натуральных слагаемых, НОК которых не больше 2009, и поделив его на этот НОК. Например, равенство 1+4=2+3, поделенное на 12, даёт 112+13=16+14.