Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2008-2009 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры
Кез келген 2009-дан үлкен n саны үшін 1n, 2n−1, 3n−2, …, n−12, n1 бөлшектерінен қосындысы тең болатын екі жұптарын әрқашанда да таңдап алуға бола ма?
(
А. Шаповалов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ. Да.
Решение. Каждая из данных дробей имеет вид n+1−aa=n+1a−1, где 1≤a≤n. Стало быть, нам требуется найти такие различные натуральные числа a, b, c и d, не большие 2009, для которых (n+1a−1)+(n+1b−1)=(n+1c−1)+(n+1d−1). Убрав минус единицы и поделив затем на n+1, получим равносильное равенство 1a+1b=1c+1d. Осталось подобрать удовлетворяющие ему дроби. Это можно сделать, взяв любое равенство двух сумм различных натуральных слагаемых, НОК которых не больше 2009, и поделив его на этот НОК. Например, равенство 1+4=2+3, поделенное на 12, даёт 112+13=16+14.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.