Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2020-2021 учебный год, II тур регионального этапа

Точка $M$ — середина стороны $AC$ равностороннего треугольника $ABC.$ Точки $P$ и $R$ на отрезках $AM$ и $BC$ соответственно выбраны так, что $AP = BR.$ Найдите сумму углов $ARM,$ $PBM$ и $BMR.$ ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. $60^\circ.$
Решение. Пусть отрезки $AR$ и $BM$ пересекаются в точке $Q.$ Так как треугольники $ABP$ и $BAR$ равны по первому признаку, $\angle BAR = \angle ABP = \alpha.$ Тогда $\angle ARM+\angle BMR = 180^\circ-\angle AQB = 2\alpha+\angle PBM$ (здесь первое равенство — теорема о внешнем угле для треугольника $MQR,$ а второе — теорема о сумме углов для треугольника $AQB$), откуда $\angle ARM+\angle BMR+\angle PBM = 2(\alpha+\angle PBM) = 2\angle ABM = 60^\circ.$