Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2020-2021 учебный год, II тур регионального этапа

Задача №1. У уголка из трёх клеток центральной назовём клетку, соседнюю по стороне с двумя другими. Существует ли клетчатая фигура, которую можно разбить на уголки из трех клеток тремя способами так, чтобы каждая ее клетка в одном из разбиений была центральной в своем уголке? ( Д. Демин )
комментарий/решение(1)

Задача №2. Точка

$M$ — середина стороны

$AC$ равностороннего треугольника

$ABC.$ Точки

$P$ и

$R$ на отрезках

$AM$ и

$BC$ соответственно выбраны так, что

$AP = BR.$ Найдите сумму углов

$ARM,$

$PBM$ и

$BMR.$ ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

Задача №3. Сначала Саша прямолинейными разрезами, каждый из которых соединяет две точки на сторонах квадрата, делит квадрат со стороной 2 на 2020 частей. Затем Дима вырезает из каждой части по кругу. Докажите, что Дима всегда может добиться того, чтобы сумма радиусов этих кругов была не меньше 1. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)

Задача №4. Дано натуральное число

$n,$ большее 2. Докажите, что если число

$n!+n^3+1$ — простое, то число

$n^2+2$ представляется в виде суммы двух простых чисел. ( Д. Демин )
комментарий/решение(1)

Задача №5. В квадратной таблице

$2021 \times 2021$ стоят натуральные числа. Можно выбрать любой столбец или любую строку в таблице и выполнить одно из следующих действий: 1) Прибавить к каждому выбранному числу 1. 2) Разделить каждое из выбранных чисел на какое-нибудь натуральное число. Можно ли за несколько таких действий добиться того, чтобы каждое число в таблице было равно 1? ( М. Дидин )
комментарий/решение(1)