Processing math: 100%

Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2020-2021 учебный год, II тур регионального этапа


Дано натуральное число n, большее 2. Докажите, что если число n!+n3+1 — простое, то число n2+2 представляется в виде суммы двух простых чисел. ( Д. Демин )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Как известно, n3+1=(n+1)(n2n+1). Так как оба сомножителя в левой части тут меньше, чем (n+1)2, то если один из них — составное число, то у него есть делитель d, больший 1, но не больший n. Но тогда и число n!+n3+1 делится на d, что противоречит его простоте. Значит, числа n2n+1 и n+1 — простые, а в сумме они как раз дают n2+2.