Эйлер атындағы олимпиада, 2020-2021 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры

Есеп №1. 3 клеткадан құралған «бұрыш» фигурасының ортаңғы клеткасы деп, қалған екеуімен ортақ қабырғасы бар клетканы атайық. Келесі шартты қанағаттандыратын клеткалы фигура табылады ма: осы клеткалы фигураны бұрыш фигураларына дәл 3 әдіспен бөлуге болады және фигураның әр клеткасы қандай да бір бөлуде бұрыштың ортаңғы клеткасы болады? ( Д. Демин )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Теңқабырғалы

$ABC$ үшбұрышында

$M$ нүктесі —

$AC$ қабырғасының ортасы.

$AM$ және

$BC$ кесінділерінде сәйкесінше

$P$ және

$R$ нүктелері

$AP = BR$ болатындай белгіленген.

$\angle ARM + \angle PBM + \angle BMR$ қосындысын есептеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Алдымен Саша, квадраттың қабырғасында жатқан екі нүктені түзу сызықпен қосу арқылы, қабырғасы 2-ге тең болатын квадратты 2020 бөлікке бөледі. Одан кейін Дима әр бөліктен дөңгелекті кесіп алады. Дима осы дөңгелектердің радиустарының қосындысы әрқашан да 1-ден кем болмайтындай етіп кесу жүргізе алатынын дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. 2-ден үлкен натурал

$n$ саны берілген. Егер

$n!+n^3+1$ саны жай сан болса, онда

$n^2+2$ санын екі жай санның қосындысы ретінде жазуға болатынын дәлелдеңіз. ( Д. Демин )
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$2021 \times 2021$ квадрат тақтасында натурал сандар жазылған. Тақтаның кез келген қатарын немесе бағанын таңдап алып, келесі операцияның біреуін жасауға рұқсат: 1) Таңдалған әр санға 1-ді қосуға болады. 2) Таңдалған әр санды қандай да бір натурал санға бөлуге болады. Осындай бірнеше операциялардан кейін тақтадағы барлық сандар 1-ге тең болатындай жасай аламыз ба? ( М. Дидин )
комментарий/решение(1)