Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2007 год


Даны два натуральных числа a<b. Докажите, что из любых b последовательных натуральных чисел можно выбрать два числа, произведение которых делится на ab. ( С. Берлов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  -1
9 года 1 месяца назад #

Среди любых b последовательных чисел ровно одно число B делится на b, и так как b>a то среди этих чисел есть и число A которое делится на a. Если B не делится на a то задача решена ибо A,B искомые два числа. Если же a|B тогда B=ka, и у нас k>1, иначе B=a не делится на b. Значит B2a а значит среди b последовательных натуральных чисел есть по крайней мере две группы a последовательных чисел, т.е есть ещё одно число A1 кроме А , делящееся на a. В этом случае искомые два числа будут A1 и B.