Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2007 год
Даны два натуральных числа a<b. Докажите, что из любых b
последовательных натуральных чисел можно выбрать два числа, произведение
которых делится на ab.
(
С. Берлов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Среди любых b последовательных чисел ровно одно число B делится на b, и так как b>a то среди этих чисел есть и число A которое делится на a. Если B не делится на a то задача решена ибо A,B− искомые два числа. Если же a|B тогда B=ka, и у нас k>1, иначе B=a не делится на b. Значит B≥2a а значит среди b последовательных натуральных чисел есть по крайней мере две группы a последовательных чисел, т.е есть ещё одно число A1 кроме А , делящееся на a. В этом случае искомые два числа будут A1 и B.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.