Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2007 жыл

$a < b$ екі натурал сан берілсін. Қатар келе жатқан $b$ натурал сандардың ішінен, көбейтіндісі $ab$-ға бөлінетін екі сан табылатынын дәлелдеңіз. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Среди любых $b$ последовательных чисел ровно одно число $B$ делится на $b$, и так как $b>a$ то среди этих чисел есть и число $A$ которое делится на $a$. Если $B$ не делится на $a$ то задача решена ибо $A,B-$ искомые два числа. Если же $a|B$ тогда $B=ka$, и у нас $k>1$, иначе $B=a$ не делится на $b$. Значит $B\ge 2a$ а значит среди $b$ последовательных натуральных чисел есть по крайней мере две группы $a$ последовательных чисел, т.е есть ещё одно число $A_1$ кроме $А$ , делящееся на $a$. В этом случае искомые два числа будут $A_1$ и $B$.