Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, I тур регионального этапа

На стороне $AC$ треугольника $ABC$ выбрана точка $E.$ Биссектриса $AL$ пересекает отрезок $BE$ в точке $X.$ Оказалось, что $AX=XE$ и $AL=BX.$ Чему равно отношение углов $A$ и $B$ треугольника? ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Ответ: 2

Решение:

Проведем через B прямую, параллельную АС. Продлим АL за точку L до пересечения с этой прямой. Пусть они пересекаются в У. Так как BY || AE -> $\angle$ XBY = $\angle$ XEA и $\angle$ XYB = $\angle$ XAE. Также $\triangle$ AXE равнобедренный -> $\angle$ XAE = $\angle$ XEA -> $\angle$ XBY = $\angle$ XYB -> BX = XY. По условию знаем, что AL=BX -> AL=XY -> AX = LY (т.к. у обоих отрезков есть общий - XL). Так как AL - биссектриса-> $\angle$ XAE = $\angle$ BAX, также $\angle$ XAE= $\angle$ XYB -> $\angle$ BAX = $\angle$ BYX -> BA = BY. Тогда $\triangle$ BAX = $\triangle$ BYL, так как BA = BY, AX=LY и $\angle$ BAX = $\angle$ BYL. Из равенства следует BX = BL. Пусть $\angle$ XAE = a -> $\angle$ BXL = $\angle$ AXE = 180 - 2a -> т.к. $\triangle$ BXL - равнобедренный-> $\angle$ XBL = 4a - 180. По $\triangle$ ABE -> $\angle$ ABE = 180-3a, тогда $\angle$ ABL = $\angle$ ABE + $\angle$ XBL = a, а $\angle$ BAE = 2a. Отсюда отношение = 2а/а = 2

…