Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, I тур заключительного этапа

Задача №1.  Можно ли пронумеровать вершины, рёбра и грани куба различными целыми числами от $-12$ до 13 так, чтобы номер каждой вершины равнялся сумме номеров сходящихся в ней рёбер, а номер каждой грани равнялся сумме номеров ограничивающих её рёбер? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  У царя Гиерона есть 13 металлических слитков, неразличимых на вид; царь знает, что их веса (в некотором порядке) равны 1, 2, $\ldots,$ 13 кг. Ещё у него есть прибор, в который можно положить один или несколько из имеющихся 13 слитков, и он просигналит, если их суммарный вес равен ровно 46 кг. Архимед, знающий веса всех слитков, хочет написать на двух слитках их веса и за два использования прибора доказать Гиерону, что обе надписи правильны. Как действовать Архимеду? ( К. Кноп )
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$. На стороне $AB$ выбрана точка $P$. Отрезки $PC$ и $AD$ пересекаются в точке $Q$. Точка $R$ — середина отрезка $AP$. Докажите, что существует фиксированная точка $X$, через которую прямая $RQ$ проходит при любом выборе точки $P$. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Натуральные числа $a$, $b$ и $c$, большие 2022, таковы, что $a+b$ делится на $c-2022$, $a+c$ делится на $b-2022$, $b+c$ делится на $a-2022$. Какое наибольшее значение может принимать число $a+b+c$? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---