Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, I тур заключительного этапа

Можно ли пронумеровать вершины, рёбра и грани куба различными целыми числами от $-12$ до 13 так, чтобы номер каждой вершины равнялся сумме номеров сходящихся в ней рёбер, а номер каждой грани равнялся сумме номеров ограничивающих её рёбер? ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Нельзя.
Решение. Сложим все присвоенные номера, заменив номера вершин и граней суммами номеров граничащих с ними рёбер. Тогда номер каждого ребра будет входить в полученную сумму пять раз: сам по себе, в составе номеров двух своих концов и в составе номеров двух граней, в которых лежит ребро. Следовательно, если бы искомая нумерация была возможна, сумма всех номеров должна была бы делиться на 5. Но она равна 13.