Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, I тур заключительного этапа

Задача №1. На доске написано четыре положительных числа. Докажите, что какие-то два из них отличаются меньше, чем на треть суммы двух остальных. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

Задача №2. В лагерь приехали 99 школьников, причём все приехавшие имеют одно и то же ненулевое количество знакомых среди остальных. Группу ребят, обладающую тем свойством, что любой из приехавших, не входящий в эту группу, знаком с кем-то из этой группы, будем называть популярной. Докажите, что из любой популярной группы, содержащей более 49 ребят, можно выбрать популярную группу, содержащую ровно 49 ребят. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

Задача №3. Дан треугольник

$ABC$ , в котором

$2\angle B - \angle A = 180^\circ$ . Внутри него выбрана точка

$K$ , а на его стороне

$AB$ — точка

$L \ne B$ так, что

$\angle ACK = 2\angle BCK$ и

$BK = KL$ . Докажите, что

$CK+AL = AC$ . ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)

Задача №4. Натуральные числа

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\ldots$ ,

$a_k$

$(k < 2020)$ удовлетворяют такому условию: для любого из них можно выбрать из остальных чисел одно или несколько так, чтобы сумма их 1024-ых степеней делилась на его 1024-ую степень. Докажите, что среди этих чисел есть два равных. ( С. Кудря )
комментарий/решение(1)