қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, I тур заключительного этапа
Задача №1. На доске написано четыре положительных числа. Докажите, что какие-то два из них отличаются меньше, чем на треть суммы двух остальных.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. В лагерь приехали 99 школьников, причём все приехавшие имеют одно и то же ненулевое количество знакомых среди остальных. Группу ребят, обладающую тем свойством, что любой из приехавших, не входящий в эту группу, знаком с кем-то из этой группы, будем называть популярной. Докажите, что из любой популярной группы, содержащей более 49 ребят, можно выбрать популярную группу, содержащую ровно 49 ребят.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Дан треугольник $ABC$, в котором $2\angle B - \angle A = 180^\circ$. Внутри него выбрана точка $K$, а на его стороне $AB$ — точка $L \ne B$ так, что $\angle ACK = 2\angle BCK$ и $BK = KL$. Докажите, что $CK+AL = AC$.
(
И. Богданов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Натуральные числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_k$ $(k < 2020)$ удовлетворяют такому условию: для любого из них можно выбрать из остальных чисел одно или несколько так, чтобы сумма их 1024-ых степеней делилась на его 1024-ую степень. Докажите, что среди этих чисел есть два равных.
(
С. Кудря
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)