Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, I тур заключительного этапа


Дан треугольник ABC, в котором 2BA=180. Внутри него выбрана точка K, а на его стороне AB — точка LB так, что ACK=2BCK и BK=KL. Докажите, что CK+AL=AC. ( И. Богданов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
3 года назад #

1) Пусть имеется окружность с центром O и диаметром MN , пусть MBAN равнобедренная трапеция и CMBAO тогда в треугольнике ABC получается 2BA=180 пусть GH серединный перпендикуляр к BL где GAB, HAC и EAB такая что BEC=60 и KCEGH тогда ACK=2BCK по построению.

2) Пусть I точка пересечения биссектрис треугольника CEA тогда IAM и CEI=AEI=60 треугольники CBE,CIE равны по двум углам и общей стороне CE откуда BK=KI тогда BK=KI=KL так как CKI+GKL=CKG=180GKE=150 тогда LKI=3602CKG=60 то есть KLI равносторонний

3) Проведем через L прямую LT||AN где TAO тогда LTAI то есть AL=AT тогда LI=TI откуда KI=TI тогда треугольники CIK,CIT равны по двум сторонам и углу или CK=CT то есть CK+AL=CT+AT=AC