Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, I тур заключительного этапа

Дан треугольник $ABC$, в котором $2\angle B - \angle A = 180^\circ$. Внутри него выбрана точка $K$, а на его стороне $AB$ — точка $L \ne B$ так, что $\angle ACK = 2\angle BCK$ и $BK = KL$. Докажите, что $CK+AL = AC$. ( И. Богданов )

Комментарий/решение

1) Пусть имеется окружность с центром $O$ и диаметром $MN$ , пусть $MBAN$ равнобедренная трапеция и $C \in MB \cap AO$ тогда в треугольнике $ABC$ получается $2 \angle B - \angle A = 180^{\circ}$ пусть $GH$ серединный перпендикуляр к $BL$ где $G \in AB , \ H \in AC$ и $E \in AB$ такая что $\angle BEC = 60^{\circ}$ и $K \in CE \cap GH$ тогда $\angle ACK = 2 \angle BCK$ по построению.

2) Пусть $I$ точка пересечения биссектрис треугольника $CEA$ тогда $I \in AM$ и $\angle CEI = \angle AEI = 60^{\circ}$ треугольники $CBE , CIE$ равны по двум углам и общей стороне $CE$ откуда $BK=KI$ тогда $BK=KI=KL$ так как $ \angle CKI + \angle GKL = \angle CKG = 180^{\circ} - \angle GKE = 150^{\circ}$ тогда $\angle LKI = 360^{\circ} - 2 \angle CKG = 60^{\circ}$ то есть $KLI$ равносторонний

3) Проведем через $L$ прямую $LT || AN$ где $T \in AO$ тогда $LT \perp AI$ то есть $AL = AT$ тогда $LI = TI$ откуда $KI = TI$ тогда треугольники $CIK , CIT$ равны по двум сторонам и углу или $CK = CT$ то есть $CK+AL = CT + AT = AC$