Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, I тур заключительного этапа
Комментарий/решение:
1) Пусть имеется окружность с центром O и диаметром MN , пусть MBAN равнобедренная трапеция и C∈MB∩AO тогда в треугольнике ABC получается 2∠B−∠A=180∘ пусть GH серединный перпендикуляр к BL где G∈AB, H∈AC и E∈AB такая что ∠BEC=60∘ и K∈CE∩GH тогда ∠ACK=2∠BCK по построению.
2) Пусть I точка пересечения биссектрис треугольника CEA тогда I∈AM и ∠CEI=∠AEI=60∘ треугольники CBE,CIE равны по двум углам и общей стороне CE откуда BK=KI тогда BK=KI=KL так как ∠CKI+∠GKL=∠CKG=180∘−∠GKE=150∘ тогда ∠LKI=360∘−2∠CKG=60∘ то есть KLI равносторонний
3) Проведем через L прямую LT||AN где T∈AO тогда LT⊥AI то есть AL=AT тогда LI=TI откуда KI=TI тогда треугольники CIK,CIT равны по двум сторонам и углу или CK=CT то есть CK+AL=CT+AT=AC
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.