Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, I тур заключительного этапа

Натуральные числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_k$ $(k < 2020)$ удовлетворяют такому условию: для любого из них можно выбрать из остальных чисел одно или несколько так, чтобы сумма их 1024-ых степеней делилась на его 1024-ую степень. Докажите, что среди этих чисел есть два равных. ( С. Кудря )

Комментарий/решение

Если $a$ нечётно ,то число $а^{1024}-1=(a^{512}+1)(a^{256}+1)...(a^2+1)(a+1)(a-1)$ равно произведению $11$ чётных сомножителей и поэтому делится на $2^{11}=2048$, то есть $a^{1024}$даёт при делении на $2048$ остаток $1$. Пусть среди наших чисел есть четное число $a_i$. Тогда его $1024$-ая степень делится на $2^{11}$ . Поскольку единицами в количестве ,не большем $k<2020<2^{11}$, число , делящееся на $2^{11}$ ,не набрать,числа ,сумма $1024$-ых степеней которых делится на $1024$-ую степень числа $a_i$ , все четны.Тогда мы можем удалить из нашего набора все нечетные числа, а все четные разделить на $2$.Получится новый набор менее чем из $2020$ чисел,удовлетворяющий условию ,причем максимальное число набора при этом уменьшилось.После какого-то количества таких операций придем к набору ,где все числа нечетны.

Пусть сумма $1024$-ых степеней $m$ нечетных чисел делится на $1024$-ю степень наибольшего из наших нечетных чисел.Обозначим частное через $n$. Так как все $1024$-ые степени дают остаток $1$ при делении на $2^{11}$,получаем ,что $m-n$ должно делиться на $2^{11}$.Поскольку $m<2^{11}$, имеем $n \geq m$ . Тогда если наибольшее из наших чисел не равно никакому из остальных, получим противоречие,ибо частное $n$ будет меньше числа слагаемых $m$.

$!Официальное$ $решение!$