Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур дистанционного этапа

В равнобедренном треугольнике $ABC$ $(AB = BC)$ точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $K$ на стороне $AC$ такова, что $\angle ABK = \angle BKA$. Оказалось, что $KB = KM$. Докажите, что $2AC = 3AB$. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Ясно ,что $AB=AK$.Треугольники $AKM$ и $CBK$ равны по стороне и двум углам на основании, а значит $KC=AM \Rightarrow AC=1.5AB \Rightarrow 2AC=3AB$, что и требовалось доказать.

Перефразируем задачу как "Докажите, что AK = 2KC" - это проще. Рассмотрим весь треугольник ABC. Обозначим AB и BC как 2x, ведь он равнобедренный, а AM и MB как x, так как M - середина AB. Из равенства углов ABK и BKA следует, что ABK - тоже равнобедренный и AK = 2x. Стороны KM и KB равны, так что и треугольник BKM тоже равнобедренный, но его бедра ни к чему не привязаны, поэтому они будут y. А углы BAC и BCA как a и углы MBK, BKA и KMB как b. А Рассмотрим треугольники AKM и BCK. У них есть 2 равные стороны - AK = BC = 2x и KM = BK = y. Так же равные углы (так как ABC - равнобедренный) - MAK и BCK. И углы MKA и CBK тоже равны: AMK = 180 - b, MKA = 180 - a - (180 - b) = b-a, BKC = 180 - b, CBK = 180 - a - (180-b) = b-a, MKA = CBK. Следовательно, по одну из признаков равенства треугольников (СУС) AM = CK=x. Первое утверждение доказано - AK = 2x, KC = x. Значит вся сторона AC = 3X, а стороны AB и BC, как говорилось ранее, равны между собой. Из этого выходит, что 2AC = 3AB (2*3x = 3*2x). Что и требовалось доказать.