Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, II тур заключительного этапа
Существует ли такое нечетное натуральное число n, что неполные частные от деления n на все натуральные числа от 10 до 1000 включительно — это различные нечетные простые числа, а остатки — составные числа (не обязательно различные)? Напомним, что 0 не является составным числом.
(
С. Берлов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Давайте рассмотрим остатки на 10, 12. Получим, что только 9 это возможный остаток. После чего верно равенство , где p,q - простые. 10p=12q=>5p=6q=>p делится на 2. Противоречие
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.