Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, II тур заключительного этапа

$n$ санын 10-нан 1000-ға (10 мен 1000 есепке алғанда) дейінгі барлық натурал сандарға бөлгенде, бөліндінің мәні әртүрлі тақ жай сандар, ал қалдықтары құрама сан (әртүрлі болуы міндетті емес) болатындай, натурал $n$ саны табылады ма? 0 саны құрама сан емес екенін еске саламыз. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Давайте рассмотрим остатки на 10, 12. Получим, что только 9 это возможный остаток. После чего верно равенство , где $p, q$ - простые. $10p=12q => 5p=6q => p$ делится на 2. Противоречие