Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, II тур заключительного этапа

Существует ли такое нечетное натуральное число $n$, что неполные частные от деления $n$ на все натуральные числа от 10 до 1000 включительно — это различные нечетные простые числа, а остатки — составные числа (не обязательно различные)? Напомним, что 0 не является составным числом. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Давайте рассмотрим остатки на 10, 12. Получим, что только 9 это возможный остаток. После чего верно равенство , где $p, q$ - простые. $10p=12q => 5p=6q => p$ делится на 2. Противоречие