Олимпиада имени Леонарда Эйлера2008-2009 учебный год, II тур заключительного этапа

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ выполнены соотношения $AB = BD$; $\angle ABD = \angle DBC$. На диагонали $BD$ нашлась точка $K$ такая, что $BK = BC$. Докажите, что $\angle KAD = \angle KCD$. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Отложим на стороне $AB$ отрезок $BE = BC$. Равнобедренные треугольники $EBK$ и $KBC$ равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому $EK = KC$, а $\angle AEK = 180 ^\circ - \angle BEK = 180 ^\circ - \angle BKC = \angle CKD$.
Кроме того, $KD = BD - BK = BA - BE = EA$. Следовательно, треугольники $AEK$ и $DKC$ равны. Далее, поскольку оба треугольника $BEK$ и $BAD$ — равнобедренные, $\angle BEK = 90 ^\circ - \angle EBD/2 = \angle BAD$. Поэтому $AD \parallel EK$, откуда $\angle KAD = \angle EKA = \angle KCD$.

$AB=BD \Rightarrow \angle BAD=\angle BDA= \frac{180^\circ - \angle ABD}{2}$

$BK=BC \Rightarrow \angle BKC=\angle BCK= \frac{180^\circ - \angle KBC}{2}$

$\angle ABD=\angle KBC \Rightarrow \angle BAD=\angle BDA=\angle BKC=\angle BCK$

$CK \cap AD=E . BE \cap AK=F$

$\angle BCK=\angle BDA \Rightarrow \angle BCE=\angle BDE \Rightarrow BCDE$ - Вписанный

$BCDE$ - вписанный $\Rightarrow \angle EBD=\angle ECD$

$\angle EBD+\angle EDB=\angle BCD$

$AB=BD , BK=BC , \angle ABK=\angle DBC \Rightarrow \triangle ABK=\triangle DBC$

$\triangle ABK=\triangle DBC \Rightarrow \angle BCD=\angle BKA= \angle EBD+\angle EDB$

$\angle EBD+\angle EDB=180^\circ -\angle BED=\angle AEB$

$\angle EBD+\angle EDB=\angle BKA ,\angle EBD+\angle EDB=\angle AEB \Rightarrow \angle BKA=\angle AEB$

$\angle BKA=\angle AEB \Rightarrow BKEA$ - вписанный

$BKEA$ - вписанный $\Rightarrow \angle EBD=\angle KAD$

$\angle EBD=\angle KCD , \angle EBD=\angle KAD \Rightarrow \angle KCD=\angle KAD$

Успокойтесь

Пусть точка $L$ на $AB$ такая что $BL = BC = BK$, несложно заметить что треугольники $BLK$ and $BKC$ подобны, поэтому $LK = KC$, т.е. $BLKC$ - kite, и $BD$ серпер треугольника $LKC$, соеденим $DL, CD$, тогда $\angle{KLD} = \angle{KCD}$, также заметим что $LK // AD$, as $\angle{BLK} = \angle{BAD}$, и так как $\angle{BAD} = \angle{BDA}$, $LKAD$ равнобедренная трапеция, т.е. $\angle{KLD} = \angle{LDA} = \angle{LKA} = \angle{KAD} = \angle{KCD}$