Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2008-2009 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Решение. Отложим на стороне AB отрезок BE=BC. Равнобедренные треугольники EBK и KBC равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому EK=KC, а ∠AEK=180∘−∠BEK=180∘−∠BKC=∠CKD.
Кроме того, KD=BD−BK=BA−BE=EA. Следовательно, треугольники AEK и DKC равны. Далее, поскольку оба треугольника BEK и BAD — равнобедренные, ∠BEK=90∘−∠EBD/2=∠BAD. Поэтому AD∥EK, откуда ∠KAD=∠EKA=∠KCD.
AB=BD⇒∠BAD=∠BDA=180∘−∠ABD2
BK=BC⇒∠BKC=∠BCK=180∘−∠KBC2
∠ABD=∠KBC⇒∠BAD=∠BDA=∠BKC=∠BCK
CK∩AD=E.BE∩AK=F
∠BCK=∠BDA⇒∠BCE=∠BDE⇒BCDE - Вписанный
BCDE - вписанный ⇒∠EBD=∠ECD
∠EBD+∠EDB=∠BCD
AB=BD,BK=BC,∠ABK=∠DBC⇒△ABK=△DBC
△ABK=△DBC⇒∠BCD=∠BKA=∠EBD+∠EDB
∠EBD+∠EDB=180∘−∠BED=∠AEB
∠EBD+∠EDB=∠BKA,∠EBD+∠EDB=∠AEB⇒∠BKA=∠AEB
∠BKA=∠AEB⇒BKEA - вписанный
BKEA - вписанный ⇒∠EBD=∠KAD
∠EBD=∠KCD,∠EBD=∠KAD⇒∠KCD=∠KAD
Пусть точка L на AB такая что BL=BC=BK, несложно заметить что треугольники BLK and BKC подобны, поэтому LK=KC, т.е. BLKC - kite, и BD серпер треугольника LKC, соеденим DL,CD, тогда ∠KLD=∠KCD, также заметим что LK//AD, as ∠BLK=∠BAD, и так как ∠BAD=∠BDA, LKAD равнобедренная трапеция, т.е. ∠KLD=∠LDA=∠LKA=∠KAD=∠KCD
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.