Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2008-2009 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры


Дөңес ABCD төртбұрышында AB=BD; ABD=DBC теңдігі орындалады. BD диагоналінде BK=BC болатындай K нүктесі табылған. Сонда KAD=KCD екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Отложим на стороне AB отрезок BE=BC. Равнобедренные треугольники EBK и KBC равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому EK=KC, а AEK=180BEK=180BKC=CKD.
Кроме того, KD=BDBK=BABE=EA. Следовательно, треугольники AEK и DKC равны. Далее, поскольку оба треугольника BEK и BAD — равнобедренные, BEK=90EBD/2=BAD. Поэтому ADEK, откуда KAD=EKA=KCD.

  9
1 года 9 месяца назад #

AB=BDBAD=BDA=180ABD2

BK=BCBKC=BCK=180KBC2

ABD=KBCBAD=BDA=BKC=BCK

CKAD=E.BEAK=F

BCK=BDABCE=BDEBCDE - Вписанный

BCDE - вписанный EBD=ECD

EBD+EDB=BCD

AB=BD,BK=BC,ABK=DBCABK=DBC

ABK=DBCBCD=BKA=EBD+EDB

EBD+EDB=180BED=AEB

EBD+EDB=BKA,EBD+EDB=AEBBKA=AEB

BKA=AEBBKEA - вписанный

BKEA - вписанный EBD=KAD

EBD=KCD,EBD=KADKCD=KAD

  1
1 года 3 месяца назад #

Успокойтесь

  3
1 года 5 месяца назад #

Пусть точка L на AB такая что BL=BC=BK, несложно заметить что треугольники BLK and BKC подобны, поэтому LK=KC, т.е. BLKC - kite, и BD серпер треугольника LKC, соеденим DL,CD, тогда KLD=KCD, также заметим что LK//AD, as BLK=BAD, и так как BAD=BDA, LKAD равнобедренная трапеция, т.е. KLD=LDA=LKA=KAD=KCD