Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2017-2018 учебный год, II тур регионального этапа

Задача №1. На бесконечной ленте выписаны в порядке возрастания все натуральные числа с суммой цифр 2018. Какое число написано на 225-м месте?
комментарий/решение(1)

Задача №2. В полдень Вася положил на стол 10 вырезанных из бумаги выпуклых десятиугольников. Затем он время от времени брал ножницы, разрезал по прямой один из лежащих на столе многоугольников на два и клал оба получившихся куска назад на стол. К полуночи Вася проделал такую операцию 51 раз. Докажите, что в полночь среди лежащих на столе многоугольников был треугольник или четырёхугольник. ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

Задача №3. На биссектрисе

$AL$ треугольника

$ABC$ выбрана точка

$D.$ Известно, что

$\angle BAC = 2\alpha,$

$\angle ADC = 3\alpha ,$

$\angle ACB = 4\alpha.$ Докажите, что

$BC+CD = AB.$
комментарий/решение(2)

Задача №4. На клетчатой белой доске размером

$25\times25$ клеток несколько клеток окрашено в чёрный цвет, причём в каждой строке и каждом столбце окрашено ровно 9 клеток. При каком наименьшем

$k$ заведомо можно перекрасить

$k$ клеток в белый цвет таким образом, чтобы нельзя было вырезать чёрный квадрат

$2\times2$ ? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

Задача №5. Докажите, что существует натуральное число

$n$ , большее

$10^{100},$ такое, что сумма всех простых чисел, меньших

$n,$ взаимно проста с

$n.$ ( Р. Салимов )
комментарий/решение(1)