Олимпиада имени Леонарда Эйлера2009-2010 учебный год, II тур заключительного этапа

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ углы $B$ и $D$ равны, $CD = 4BC$, а биссектриса угла $A$ проходит через середину стороны $CD$. Чему может быть равно отношение $AD/AB$? ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 2:3.
Решение. Обозначим через $M$ середину стороны $CD$. Рассмотрим на луче $AB$ точку $K$, симметричную точке $D$ относительно прямой $AM$. Поскольку $\angle ABC = \angle ADM = \angle AKM$, то $BC \parallel KM$ и точка $K$ лежит на отрезке $AB$. Поскольку $CM = DM = KM$, то $\angle DKC = 90 ^\circ$ и $KC \parallel AM$. Следовательно, у треугольников $AKM$ и $KBC$ стороны соответственно параллельны, поэтому они подобны с коэффициентом $k = KM/BC = 2$, откуда $AD = AK = 2KB$ и $AD:AB = 2:3$.

Пусть $M$ середина $CD$, продлим $AM$ и $BC$ до точки пересечения K, заметим что треугольник $CMK$ равнобедренный с основание $MK$ (счет углов, углы при основания равны), также $AKB$ подобен AMD по двум углам, значит ${BK}/{MD} = {AB}/{AD} = 3/2$, тк $BK=BC+CM=MD/2 + MD=1.5MD$, отсюда ответ $AD:AB = 2:3$