Олимпиада имени Леонарда Эйлера2010-2011 учебный год, I тур заключительного этапа

Докажите, что для любого натурального числа $n > 1$ найдутся такие натуральные числа $a, b, c, d$, что $a+b = c+d = ab - cd = 4n$. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Положим $a = 2n+x$, $b = 2n - x$, $c = 2n+y$, $d = 2n - y$. Тогда равенство перепишется в виде $y^2-x^2 = 4n$. Теперь предположим, что $y+x = 2n$, $y- x = 2$. Получим $x = n -1$, $y = n+1$, откуда $a = 3n -1$, $b = n+1$, $c = 3n+1$, $d = n- 1$.