Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2013 год

Точки $X$ и $Y$ внутри ромба $ABCD$ таковы, что точка $Y$ лежит внутри выпуклого четырёхугольника $BXDC$ и $2\angle XBY=2\angle XDY=\angle ABC$. Докажите, что прямые $AX$ и $CY$ параллельны. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Из равенства $2\angle XBY = 2\angle XDY = \angle ABC$, получим что $$\angle XBY=\frac{\angle ABC}{2}=\angle ABD\Leftrightarrow \angle XBD+\angle DBY=\angle XBY=\angle ABD=\angle ABX+\angle XBD,$$ отсюда $\angle ABX=\angle DBY$, аналогичными соображениями, получим что $\angle ADX=\angle BDY$. Пусть $Z$ - точка, симметричная точке $Y$, относительно прямой $BD$, отсюда $AZYC$ является равнобокой трапецией. Учитывая следующие равенства: $\angle ABX=\angle DBY=\angle DBZ$ и $\angle ADX=\angle BDY=\angle BDZ$, следует что, точка $Z$ изогональна сопряжена точке $X$ в треугольнике $BAD$. Поскольку прямая $AC$ - биссектриса $\angle BAD$, то $\angle XAC=\angle CAZ=\angle ACY$, отсюда прямые $AX$ и $CY$ параллельны.