Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, II тур заключительного этапа

В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ $\angle ACB=\angle CBD=\angle DCE=\angle BDC=30^\circ$, а $AB+BC+CD+DE=AD+BE$. Чему может быть равен угол $A$ этого пятиугольника? ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Пусть точка $F$ симметрична точке $C$ относительно $BD$ тогда $BCDF$ является ромбом, где $\triangle BCF$ и $\triangle CDF$ равносторонние, поэтому $AC$ является серединным перпендикуляром к $BF$ , откуда и $AB$ $=$ $AF$, аналогично и $DE$ $=$ $EF$, допустим $F$ не является точкой пересечения диагоналей $AD$ и $BE$, тогда по неравенству треугольника и равенством которое нам дано $AB$ $+$ $BC$ $+$ $CD$ $+$ $DE$ $=$ $AD$ $+$ $BE$ $=$ $AF$ $+$ $FD$ $+$ $BF$ $+$ $EF$ $>$ $AD$ $+$ $BE$ $-$ противоречие, поэтому точка $F$ это точка пересечения диагоналей $AD$ и $BE$ , откуда $\triangle ABF$ и $\triangle DEF$ $-$ равносторонние и угол $\angle BAF$ $=$ $60^\circ$, и так как $\triangle AFE$ $-$ равнобедренный то $\angle FAE$ $=$ $30^\circ$, поэтому угол $A$ $=$ $60^\circ$$+$ $30^\circ$ $=$ $90^\circ$