Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2013-2014 учебный год, II тур заключительного этапа

Задача №1.  Петя и Вася одновременно ввели в свои калькуляторы одно и то же не равное 0 целое число. После этого каждую минуту Петя либо прибавлял к своему числу 10, либо умножал его на 2014; одновременно Вася в первом случае вычитал из своего числа 10, а во втором — делил его на 2014. Могло ли оказаться, что через некоторое время числа у Пети и Васи снова стали равными? ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Назовём натуральное число $\textit{гористым}$, если в его записи есть не стоящая с краю цифра (называемая $\textit{вершиной}$), которая больше всех остальных, а все остальные цифры ненулевые и сначала нестрого возрастают (то есть каждая следующая цифра больше предыдущей или равна ей) до вершины, а потом нестрого убывают (то есть каждая следующая цифра меньше предыдущей или равна ей). Например, число 12243 — гористое, а числа 3456 и 1312 — нет. Докажите, что сумма всех стозначных гористых чисел — составное число. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Десятичная запись натурального числа $N$ составлена только из единиц и двоек. Известно, что вычёркиванием цифр из этого числа можно получить любое из 10000 чисел, состоящих из 9999 единиц и одной двойки. Найдите наименьшее возможное количество цифр в записи числа $N$. ( Г. Челноков )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Диагональ выпуклого 101-угольника будем называть главной, если по одну сторону от неё лежит 50, а по другую — 49 вершин. Выбрано несколько главных диагоналей, не имеющих общих концов. Докажите, что сумма длин этих диагоналей меньше суммы длин остальных главных диагоналей. ( И. Богданов, С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---