Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2013-2014 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры

Есеп №1. Петя мен Вася бір уақытта өз калькуляторларына нөлге тең емес бірдей бүтін санды жазды. Содан кейін Петя әр минут сайын өз санын немесе 10-ға үлкейтіп отырған, немесе 2014-ке көбейтіп отырған; сол уақытта, бірінші жағдайда Вася өз санын 10-ға кемітіп, екінші жағдайда 2014-ке бөліп отырған. Бірнеше уақыттан кейін Петя мен Васяның сандары қайтадан бірдей болуы мүмкін бе? ( И. Богданов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Біз натурал санды таулы деп атайық, егер оның ондық жазуындағы шетінде тұрмаған қандай-да бір цифра (оны төбе деп атайық) басқа цифрлардан үлкен, ал қалған барлық цифрлар нөлге тең емес және төбеге дейін қатаң емес түрде өспелі (яғни әр келесі цифра алдыңғысынан үлкен немесе оған тең), ал төбеден кейін қатаң емес түрде кемімелі (яғни әр келесі цифра алдыңғысынан кем немесе оған тең) болса.
Мысалға 12243 саны — таулы, ал 3456 және 1312 — таулы емес. Барлық жүзтаңбалы таулы сандардың қосындысы — құрама сан екенін дәлелдеңдер. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Натурал $N$ санның ондық жүйедегі жазуы тек «1» және «2» деген цифрлардан құралған. Осы санның цифрларын өшіру арқылы, 9999 «1» және бір «2» цифрларынан құралған 10000 санның кез келгенін алуға болады. $N$ санындағы цифрлар санының ең кіші мүмкін мәнін табыңдар. ( Г. Челноков )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Дөңес 101-бұрыштың диагональін басты деп атаймыз, егер оның бір жағында 50 төбе, ал екінші жағында 49 төбе жатса. Ортақ ұштары жоқ бірнеше басты диагональдар таңдап алынған. Сол диагональдардың ұзындықтарының қосындысы, қалған басты диагональдардың ұзындықтарының қосындысынан кіші екенін дәлелде. ( И. Богданов, С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---