Олимпиада имени Леонарда Эйлера2013-2014 учебный год, II тур регионального этапа

Дано 2014 попарно различных натуральных чисел таких, что произведение любых двух из них делится на сумму этих двух чисел. Докажите, что ни одно из данных чисел не может быть равно произведению шести попарно различных простых чисел. ( И. Рубанов, С. Берлов, В. Сендеров )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Допустим противное: среди данных есть число $a$, равное произведению шести попарно различных простых. Из равенства $ab/(a+b) = a – a^2/(a+b)$ следует, что $ab$ делится на $a+b$ тогда и только тогда, когда $b^2$ делится на $a+b$. Поэтому если число $a$ есть на доске, то его квадрат должен делиться на все числа вида $a+b$, где $b$ — другое данное число. Но таких чисел 2013, а у числа $a^2$ только $3^6 = 729$ делителей (это следует из известной формулы для числа делителей, дающей в данном случае результат $(2+1)^6$, но в данном частном случае его нетрудно получить и непосредственно).
Замечание. Числа 2014 не могло оказаться даже среди 15 выбранных. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что все делители вида $2014+a$ больше 2014, а таких делителей у числа $2014^2$ ровно $(27-1)/2 = 13 < 14$: все делители числа $2014^2$, кроме 2014, делятся на пары дополняющих друг друга до $2014^2$, и в каждой паре ровно один делитель больше 2014.