Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2013-2014 учебный год, II тур регионального этапа
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Решение. Допустим противное: среди данных есть число a, равное произведению шести попарно различных простых. Из равенства ab/(a+b) = a – a^2/(a+b) следует, что ab делится на a+b тогда и только тогда, когда b^2 делится на a+b. Поэтому если число a есть на доске, то его квадрат должен делиться на все числа вида a+b, где b — другое данное число. Но таких чисел 2013, а у числа a^2 только 3^6 = 729 делителей (это следует из известной формулы для числа делителей, дающей в данном случае результат (2+1)^6, но в данном частном случае его нетрудно получить и непосредственно).
Замечание. Числа 2014 не могло оказаться даже среди 15 выбранных. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что все делители вида 2014+a больше 2014, а таких делителей у числа 2014^2 ровно (27-1)/2 = 13 < 14: все делители числа 2014^2, кроме 2014, делятся на пары дополняющих друг друга до 2014^2, и в каждой паре ровно один делитель больше 2014.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.