Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2009-2010 учебный год, I тур заключительного этапа

Задача №1.  Занумеруем все простые числа в порядке возрастания: $p_1 = 2, p_2 = 3, \dots $. Может ли среднее арифметическое $(p_1+ \dots +p_n)/n$ при каком-нибудь $n \geq 2$ быть простым числом? ( С. Волчёнков )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  В Швамбрании некоторые города связаны двусторонними беспосадочными авиарейсами. Рейсы разделены между тремя авиакомпаниями, причём если какая-то авиакомпания обслуживает линию между городами А и Б, то самолёты других компаний между этими городами не летают. Известно, что из каждого города летают самолёты всех трёх компаний. Докажите, что можно, вылетев из некоторого города, вернуться в него, воспользовавшись по пути рейсами всех трёх компаний и не побывав ни в одном из промежуточных городов дважды. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  В четырехугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна диагонали $AC$ и перпендикулярна стороне $AD$, а диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$. На стороне $AD$ взята точка $K$ такая, что $AC = AK$. Биссектриса угла $ADC$ пересекает $BK$ в точке $M$. Найдите угол $ACM$. ( Р. Женодаров )
комментарий/решение(2)

---

Задача №4.  В вершинах куба расставили числа $1^{2}, 2^2, \dots , 8^2$ (в каждую из вершин — по одному числу). Для каждого ребра посчитали произведение чисел в его концах. Найдите наибольшую возможную сумму всех этих произведений. ( Д. Фон-дер-Флаасс )
комментарий/решение(1)

---