Олимпиада имени Леонарда Эйлера2009-2010 учебный год, I тур заключительного этапа

В четырехугольнике $ABCD$ сторона $AB$ равна диагонали $AC$ и перпендикулярна стороне $AD$, а диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$. На стороне $AD$ взята точка $K$ такая, что $AC = AK$. Биссектриса угла $ADC$ пересекает $BK$ в точке $M$. Найдите угол $ACM$. ( Р. Женодаров )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. $\angle ACM = 45 ^\circ $.
Решение. Поскольку треугольник $BAK$ — прямоугольный равнобедренный, $\angle AKB = 45 ^\circ$. Пусть биссектриса угла $CAD$ пересекает отрезок $BK$ в точке $N$. Треугольники $ANK$ и $ANC$ равны: $AN$ общая, $AC = AK$, $\angle CAN = \angle KAN $. Поэтому $\angle NCA = \angle NKA = 45 ^\circ $. Поэтому $CN$ — биссектриса прямого угла $ACD$, а $N$ — точка пересечения биссектрис треугольника $ACD$. Таким образом, точка $N$ лежит на биссектрисе угла $ACD$ и на отрезке $BK$, то есть совпадает с точкой $M$. Следовательно, $\angle ACM = \angle ACN = 45 ^\circ$.

Так как AB=AK углы ABK и BKA равны 45 градусам. Отсюда получаем что если угол АСМ=m MCK=n то KCD=90-m-n и так как AC=AK MKC=m+n-45 CKD=190-m-n MDK=m+n-45 KMD=90-m-n тогда углы KCD DMK равны и четырехугольник MKDC вписанный отсюда углы CMK MDK равны отсюда n=m+n-45 m=45 ответ 45