Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2009-2010 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры


ABCD төртбұрышында AB қабырғасы AC диогональна тең және AD қабырғасына перпендикуляр, ал AC диогональі CD қабырғасына перпендикуляр. AC=AK болатыңдай AD қабырғасынан K нүктесі алынған. ADC бұрышының биссектрисасы BK-ны M нүктесінде қиып өтеді. ACM бұрышын табыңыз. ( Р. Женодаров )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. ACM=45.
Решение. Поскольку треугольник BAK — прямоугольный равнобедренный, AKB=45. Пусть биссектриса угла CAD пересекает отрезок BK в точке N. Треугольники ANK и ANC равны: AN общая, AC=AK, CAN=KAN. Поэтому NCA=NKA=45. Поэтому CN — биссектриса прямого угла ACD, а N — точка пересечения биссектрис треугольника ACD. Таким образом, точка N лежит на биссектрисе угла ACD и на отрезке BK, то есть совпадает с точкой M. Следовательно, ACM=ACN=45.

  2
2 года 4 месяца назад #

Так как AB=AK углы ABK и BKA равны 45 градусам. Отсюда получаем что если угол АСМ=m MCK=n то KCD=90-m-n и так как AC=AK MKC=m+n-45 CKD=190-m-n MDK=m+n-45 KMD=90-m-n тогда углы KCD DMK равны и четырехугольник MKDC вписанный отсюда углы CMK MDK равны отсюда n=m+n-45 m=45 ответ 45