Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2009-2010 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры

Есеп №1. Барлық жай сандарды өсу ретімен нөмерлейік: $p_1=2$, $p_2=3$, $\ldots$. Мына арифметикалық орта $(p_1+ \ldots +p_n)/n$, қандай да бір $n \geq 2$ мәніңде жай сан бола ала ма? ( С. Волчёнков )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Швамбаранияда кейбір қалалар екіжақты қонбайтың авиарейстермен байланысқан. Рейстер үш авиакомпания арасында бөлінген, мұнымен қатар, егер қандай да бір авиакомпания А және Б қалаларына қызмет көрсетсе, онда басқа компанияның ұшақтары бұл екі қаланың арасында ұшпайды. Әр қаладан үш компанияның да ұшақтары ұшатыны белгілі. Бір қаладан ұшып шығып, жол-жөнекей барлық үш компанияның рейстерін пайдаланып, және ешқандай екі қаланың ортасында екі рет болмай, қайтадан сол қалаға қайтып келуге болатының дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. $ABCD$ төртбұрышында $AB$ қабырғасы $AC$ диогональна тең және $AD$ қабырғасына перпендикуляр, ал $AC$ диогональі $CD$ қабырғасына перпендикуляр. $AC=AK$ болатыңдай $AD$ қабырғасынан $K$ нүктесі алынған. $ADC$ бұрышының биссектрисасы $BK$-ны $M$ нүктесінде қиып өтеді. $ACM$ бұрышын табыңыз. ( Р. Женодаров )
комментарий/решение(2)

---

Есеп №4. Кубтың төбелеріне $1^2$, $2^2$, $\ldots$, $8^2$ сандарын қойып шықты (әр төбесіне бір саннан). Әр қабырғасына оның аяғы жағындағы сандардың көбейтіңдісін жазды. Бұл көбейтіңділердің мүмкін болатын ең үлкен қосындысын табыңыз. ( Д. Фон-дер-Флаасс )
комментарий/решение(1)

---