Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур дистанционного этапа

Назовем пару различных натуральных чисел хорошей, если одно из них делится на другое. Найдите такие 20 натуральных чисел, среди которых нет равных, что если выписать все возможные пары этих чисел, то количество хороших среди них будет равно 101. (Каждая пара записывается один раз. Порядок чисел в парах не учитывается, то есть пары ${(a, b)}$ и ${(b, a)}$ считаются за одну.)
   Не забудьте объяснить, почему найденные вами числа действительно дают ровно 101 хорошую пару, не больше и не меньше. Ответы без объяснения не засчитываются. ( И. Рубанов, С. Берлов )

Комментарий/решение

Ответ:Подойдут любые простые числа, не равные нулю в виде $(p¹, p², p³... , p¹⁴, q¹, q² , ... , q⁵, r.)$

Решение:

Заметим, что при любом

$n¹ , n² , n³ , ... , n^k$

кол-во хороших пар это

$k(k-1)/2$

таким образом несложно посчитать кол-во $p$:

$7×13=91$

кол-во $q$:

$5×2=10$

кол-во $r$

$0×1=0$

Отсюда и ровно 101 хорошая пара.