Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур дистанционного этапа

Екі өзара тең емес натурал сандар жұбында оның біреуі екіншісіне бөлінсе, ондай жұпты жақсы жұп деп атаймыз. Барлық мүмкін жұптарды жазғанда, олардың арасындағы жақсы жұп саны дәл 101 болатындай, өзара әртүрлі 20 натурал сандарды табыңыз. (Әр жұп тек бір рет жазылады, демек олар қай-таланбауы керек, яғни ${(a, b)}$ және ${(b, a)}$ жұптары бірдей болып есептеледі.)
   Тапқан жауапты негіздеуді ұмытпаңыз, яғни сіз тапқан сандар неліктен дәл 101 жақсы жұпты беретінін түсіндіріңіз. Түсіндірмеміз жауаптар есепке алынбайды. ( И. Рубанов, С. Берлов )

Комментарий/решение

Ответ:Подойдут любые простые числа, не равные нулю в виде $(p¹, p², p³... , p¹⁴, q¹, q² , ... , q⁵, r.)$

Решение:

Заметим, что при любом

$n¹ , n² , n³ , ... , n^k$

кол-во хороших пар это

$k(k-1)/2$

таким образом несложно посчитать кол-во $p$:

$7×13=91$

кол-во $q$:

$5×2=10$

кол-во $r$

$0×1=0$

Отсюда и ровно 101 хорошая пара.