Олимпиада имени Леонарда Эйлера2012-2013 учебный год, II тур заключительного этапа

На доске в строчку написано $n$ подряд идущих натуральных чисел в порядке возрастания. Под каждым из этих чисел написан его делитель, меньший этого числа и больший 1. Оказалось, что эти делители тоже образуют строчку подряд идущих натуральных чисел в порядке возрастания. Докажите, что каждое из исходных чисел больше, чем $\frac{{{n}^{k}}}{{{p}_{1}}{{p}_{2}}\ldots {{p}_{k}}}$, где $p_1$, $p_2$, $\dots$, $p_k$ — все простые числа, меньшие $n$. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Заметим, что все разности между числами и записанными под ними их делителями равны одному и тому же числу $c$. Пусть $p$ — простое число, меньшее $n$, а $p^s$ — наибольшая его степень, не превосходящая $n$. Тогда среди чисел во второй строке найдется делящееся на $p^s$. Но тогда на $p^s$ делится и записанное над ним число в первой строке, а, значит, и число $c$. Таким образом, число $c$ делится на наибольшую не превосходящую $n$ степень любого простого числа $p$, меньшего $n$, а, значит, и на произведение этих степеней по всем таким $p$. Осталось заметить, что $p^s > n/p$ и любое число в исходной строке больше $c$.