Леонард Эйлер атындағы олимпиада,2012-2013 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры

Тақтада бір жолға қатар келген $n$ сан өсу ретімен жазылған. Әр санның астына сол санның өзінен кіші және 1-ден үлкен бөлгішін жазған. Жазылған бөлгіштер де өсу ретімен орналасқан, қатар келген натурал сандар тізімі болатыны белгілі. Алғашқыда жазылған сандардың әрқайсысы $\dfrac{{{n}^{k}}}{{{p}_{1}}{{p}_{2}}\ldots {{p}_{k}}}$ санынан үлкен екенін дәлелдеңдер, бұл жерде $p_1$, $p_2$, $\ldots$, $p_k$ — барлық $n$-нен кіші жай сандар. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Заметим, что все разности между числами и записанными под ними их делителями равны одному и тому же числу $c$. Пусть $p$ — простое число, меньшее $n$, а $p^s$ — наибольшая его степень, не превосходящая $n$. Тогда среди чисел во второй строке найдется делящееся на $p^s$. Но тогда на $p^s$ делится и записанное над ним число в первой строке, а, значит, и число $c$. Таким образом, число $c$ делится на наибольшую не превосходящую $n$ степень любого простого числа $p$, меньшего $n$, а, значит, и на произведение этих степеней по всем таким $p$. Осталось заметить, что $p^s > n/p$ и любое число в исходной строке больше $c$.