Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, I тур регионального этапа

Биссектриса угла $A$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекает сторону $CD$ в точке $K.$ Оказалось, что $DK = BC$ и $KC+AB = AD.$ Докажите, что $\angle BCD = \angle ADC.$ ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть точка $D'$ симметрична $D$ относительно прямой $AK.$ Тогда $BC = DK = D'K$ и $KC = AD-AB = AD'-AB = BD',$ откуда следует равенство треугольников $BD'K$ и $BCK$ по трём сторонам. Тогда $\angle BCK = \angle BD'K = \angle AD'K = \angle ADK = \angle ADC.$

отметим на стороне $AD$ точку $B_1$ так чтобы $ABB_1$ был равнобедренным $AB=AB_1$,пусть пересечение $AK c BB_1$ в точке $P$ тогда $BC=KD,CK=B_1D,BP=PB_1$ тогда треуги $BPK=B_1PK$ по двум сторонам в прямоугольном треуге тогда $B_1K=BK$ и отсюда $BCK=B_1KD$ треуги тогда отсюда понимаем что $\angle KDA= \angle BCD$