Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2017-2018 учебный год, I тур регионального этапа

Даны два ненулевых числа. Если к каждому из них прибавить единицу, а также из каждого из них вычесть единицу, то сумма обратных величин четырёх полученных чисел будет равна 0. Какое число может получиться, если из суммы исходных чисел вычесть сумму их обратных величин? Найдите все возможности. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 0.
Решение. Пусть даны числа $a$ и $b.$ Преобразуем данную в условии сумму четырёх чисел: \[0=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{b-1}=\frac{2a}{{{a}^{2}}-1}+\frac{2b}{{{b}^{2}}-1}.\] Положим $x = \frac{a}{{{a}^{2}}-1}=-\frac{b}{{{b}^{2}}-1}.$ Тогда $a-\frac{1}{a}+b-\frac{1}{b}=\frac{{{a}^{2}}-1}{a}+\frac{{{b}^{2}}-1}{b}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x}=0.$