Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2020-2021 учебный год, III тур дистанционного этапа

В трапеции $ABCD$ биссектриса угла $B$ пересекает основание $AD$ в точке $L.$ Точка $M$ — середина стороны $CD.$ Прямая, параллельная $BM$ и проходящая через $L,$ пересекает сторону $AB$ в точке $K.$ Оказалось, что угол $BLM$ — прямой. Найдите отношение $BK/KA.$ ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. 2.
Решение. Продолжим отрезок $BM$ до пересечения с прямой $AD$ в точке $N,$ а отрезок $LK$ — до пересечения с прямой $BC$ в точке $P.$ Положим $LD = x,$ $BC = y.$ Треугольники $BCM$ и $NDM$ равны ($MC = MD,$ $\angle CMB = \angle DMN,$ $\angle BCM = \angle MDN$), поэтому $DN = BC = y.$ $PLNB$ — параллелограмм, поэтому $PB = LN = LD+DN = x+y.$ Так как $\angle ALB = \angle LBC = \angle ABL,$ высота $AE$ треугольника $BAL$ является его медианой. Следовательно, $EM$ — средняя линия трапеции $BLDC,$ откуда $EM = (BC+LD)/2 = (x+y)/2.$ Поскольку прямые $AK$ и $LM$ перпендикулярны $BL,$ они параллельны, и $AEML$ — параллелограмм, откуда $AL = EM = (x+y)/2 = PB/2.$
   Используя подобие треугольников $PKB$ и $LKA,$ теперь можно закончить решение сразу: $BK/KA = PB/LA = 2.$ Чтобы обойтись без подобия, рассмотрим середины $U$ и $V$ отрезков $PK$ и $BK$ соответственно. Так как $UV = PB/2 = AL,$ треугольники $UVK$ и $LAK$ равны, откуда $KB = 2KV = 2KA.$